Глава II. Основы финансовой математики

3.1 Простые проценты

С экономической точки зрения процент представляет собой плату за использование денежных средств одного лица (кредитора) другим лицом (заемщиком, дебитором), выраженную в сотых долях от исходной суммы.

Основная единица времени (год, квартал, месяц, день) называется базовой.

Временной интервал, в конце (а иногда - в начале) которого начисляются проценты за этот интервал, называется конверсионным периодом или периодом начисления.

Если длина конверсионного периода совпадает с базовой единицей

времени, то соответствующая процентная ставка называется эффективной.

Кредитор является инвестором, а предоставленные им заемщику средства - капиталом.

При заключении финансового или кредитного соглашения стороны

(кредитор и заемщик) договариваются о размере процентной ставки. Под процентной ставкой понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени.

Проценты различаются по базе их начисления. Применяется постоянная или последовательно изменяющаяся база для расчета. В последнем случае за базу применяется сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования, т.е. проценты начисляются на проценты. При постоянной базе используют простые, при измененной -сложные процентные ставки.

Наращение по простой процентной ставке

Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока.

, (3.1)

где P - первоначальная сумма,

n - срок,

i - ставка наращения (десятичная дробь).

В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. При этом наращенная на конец срока сумма определяется по следующему уравнению:

(3.2)

где - ставка простых процентов в периоде t, t=1,2,...,m;

- продолжительность периода ; .

В практике при инвестировании средств в краткосрочные депозиты прибегают к последовательному неоднократному повторению наращения по простым процентам в пределах заданного общего срока т.е. реинвестированию полученных на каждом этапе наращения средств. В этом случае :

, (3.3)

где m - количество реинвестиций.

Погашение задолженности частями

Необходимым условием финансовой или кредитной операции в любой форме является сбалансированность вложений и отдачи.

Краткосрочные обязательства иногда погашаются с помощью последовательности частичных платежей. В этом случае надо решить вопрос о том, какую сумму взять за базу для расчета процентов и каким путем определять остаток задолженности.

Первый метод, который применяется в основном в операциях со сроком более года, называется актуарным. Актуарный метод предполагает последовательное начисление процентов на фактические суммы долга. Частичный платеж идет в первую очередь на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму начисленных процентов, то разница идет на погашение основной суммы долга. Непогашенный остаток долга служит базой для начисления процентов за следующий период и т.д. Если же частичный платеж меньше начисленных процентов, то никакие зачеты долга не делаются.

Второй метод назван правилом торговца. Он обычно применяется коммерческими фирмами в сделках со сроком не более года. Здесь возможны два варианта. Если срок ссуды не превышает год, то сумма долга с начисленными на весь срок процентами остается неизменной до полного погашения. В случае, когда срок превышает год, расчеты делаются для годового периода задолженности. В конце года из суммы задолженности вычитается наращенная сумма накопленных частичных платежей. Остаток погашается в следующем году.

, (3.4)

где i - банковская процентная ставка;

S - остаток долга на конец срока или года;

D- наращенная сумма долга;

K - наращенная сумма платежей;

R_j- сумма частичного платежа;

n - общий срок ссуды;

t_j- интервал времени от момента платежа до конца срока ссуды или года.

Наращение и выплата процентов в потребительском кредите

В потребительском кредите проценты, как правило, начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основному долгу уже в момент кредита. Такой метод называется разовым начислением процентов. Погашение долга с процентами производится частями (обычно равными суммами) на протяжении всего срока кредита:

, (3.5)

где n - срок кредита; m - число платежей в году.

Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам

Термин дисконтирование употребляется как средство определения

любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый, более ранний момент времени.

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n , необходимо определить сумму полученной ссуды P. Такая ситуация может возникнуть, например при разработке условий контракта. Расчет P по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче ссуды. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называется учетом, а удержанные проценты - дисконтом. В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования - математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае используется ставка наращения, во втором - учетная ставка.

Математическое дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды.

, (3.6)

, (3.7)

где D - дисконта.

Банк или иное финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом (т.е. со скидкой). Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует дисконт. При учете векселя применяется банковский или коммерческий учет, согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d.

, (3.8)

Для ставки наращения прямой задачей является определение наращенной суммы, обратной - дисконтирование. Для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная - в наращении .

Ставка Прямая задача Обратная задача

i (3.9)

Учетная ставка отражает фактор времени более жестко. Например, при d = 20 % уже 5-ти летний срок достаточен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.

Определение срока ссуды и величины процентной ставки

Необходимые для расчета продолжительности ссуды в годах и днях по-

лучим, решив уравнения (3.1) и (3.8) относительно n:

, (3.10) , (3.11)

, (3.12) , (3.13)

По этим же уравнениям можно определить и процентные ставки:

, (3.14) , (3.15)

3.2 Сложные проценты

В средне и долгосрочных финансово-кредитных операциях применяют сложные проценты. База для начисления сложных процентов (в отличие от простых) не остается постоянной - она увеличивается с каждым шагом во времени, абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, называют капитализацией процентов.

Наращенная сумма по сложным процентам вычисляется по уравнению:

, (3.16)

где S - наращенная сумма;

P - первоначальный размер долга (ссуда, кредит и т.д.);

i - процентная ставка;

n - число лет наращения.

Пример: Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб., через пять лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых ?

руб.

Различия в последствиях применения простых и сложных процентов

наиболее наглядно проявляется при определении времени, необходимого для увеличения первоначальной суммы в N раз.

Для простых процентов:

, (3.17)

Для сложных процентов:

, (3.18)

Пример. Определим число лет, необходимого для увеличения первоначального капитала в пять раз, применяя сложные и простые % по ставке 15% годовых.

Номинальная ставка

В современных условиях проценты капитализируются не один, а несколько раз в году - по полугодиям, кварталам и т.д. Некоторые зарубежные коммерческие банки практикуют даже ежедневные начисления процентов. При начислении % несколько раз в году можно воспользоваться формулой (3.16), параметр n в этих условиях будет означать число периодов начисления, а под ставкой i следует понимать ставку за соответствующий период. В контрактах фиксируется не ставка за период, а годовая ставка в % и указывается период начисления %.

Пусть годовая ставка равна j , а число периодов начисления в году равно m. Проценты начисляют по ставке j/m. Ставку j называют номинальной.

Формулу наращения можно представить следующим образом:

, (3.19)

Пример: Какова сумма долга через 25 месяцев, если первоначальная

величина 500 тыс. руб., проценты сложные , ставка 20 % годовых, начисляются поквартально .

руб.

Эффективная ставка

Эффективная ставка - это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке

откуда

, (3.20)

При m>1, эффективная ставка ( i ) больше номинальной ( j ) при m=1; i=j.

Замена в договоре номинальной ставки j при m-разовом начислении процентов на эффективную ставку i не изменяет финансовых обязательств участвующих сторон т.е. обе ставки эквивалентны в финансовом отношении.

Пример. Какова эффективная ставка, если номинальная ставка равна 25 % при помесячном начислении процентов?

Для сторон в сделке безразлично : применить ставку 25 % (при помесячном начислении) или годовую ставку 28,0732 %.

При подготовке контрактов может возникнуть необходимость и в решении обратной задачи - в определении j по заданным значениям i и m. Находим:

, (3.21)

Дисконтирование по сложной ставке процентов

Применим математическое дисконтирование по сложной ставке процента. На основе (3.16) получим:

, (3.22)

, (3.23)

Величину называют дисконтным множителем. Для случаев, когда проценты начисляются m раз в году, получим:

, (3.24)

, (3.25)

Величину Р , полученную дисконтированием S, называют современной стоимостью S. Разность S-P , в случае когда Р определено дисконтированием, называют дисконтом ( D ). ;

Пример. Сумма 5 млн. руб. выплачивается через 5 лет. Определить ее современную стоимость, при применении ставки сложных процентов, равных 12 % годовых. Дисконтный множитель для данных условий составит , т.е. сумма уменьшается (дисконтируется) почти на 44 %. Современная ее стоимость равна:

руб.

Современная величина суммы денег - одна из важнейших характеристик, применяемых в финансовом анализе.

В практике учетных операций иногда применяют сложную учетную ставку. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле: , (3.26)

где d- сложная учетная ставка.

Пример. Финансовый документ на сумму 5 млн. руб., срок платежа, по которому наступает через пять лет, продан с дисконтом по сложной учетной ставке 15 % годовых. Какова сумма дисконта?

D=S - P= 2761473,44 руб.

По аналогии с номинальной и эффективной ставкой процентов вводится понятие номинальной и эффективной учетной ставки:

, (3.27)

где f - номинальная годовая учетная ставка.

Эффективная учетная ставка характеризует результат дисконтирования за год. Она находится из равенства

откуда .

Для одних и тех же условий операций эффективная учетная ставка меньше номинальной.

Пример. По данным примера, приведенного выше, определим сумму, полученную при поквартальном дисконтировании по номинальной учетной ставке 15 % (f=0,15, m=4).

Эффективная учетная ставка составит

или 14,177 %.

При использовании сложной учетной ставки:

, (3.28) или , (3.29)

Непрерывные наращение и дисконтирование - непрерывные проценты

В практических финансово-кредитных операциях непрерывное наращение, т.е. наращение за бесконечно малые отрезки времени, применяется крайне редко.

Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в анализе сложных финансовых проблем, например, при обосновании и выборе инвестиционных решений, в финансовом проектировании.

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки - силу роста. Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Она может быть постоянной или изменяться во времени.

При дискретном начислении процентов m раз в году по номинальной ставке j наращенная сумма определяется по уравнению:

При именем: .

Для того, чтобы отличить непрерывную ставку от дискретной, силу роста обозначают, как , тогда:

, (3.30)

Дискретные и непрерывные ставки наращения находятся в функциональной зависимости между собой. Из равенства множителей наращения следует:

, (3.31)

, (3.32)

Определение срока платежа и процентных ставок

При разработке условий финансовых операций часто бывает необходимо решить обратную задачу - определить продолжительность ссуды или определить уровень процентной ставки.

Срок платежа. Приведем формулы расчета n для различных условий наращения процентов и дисконтирования. При наращении по сложной годовой ставке i по номинальной ставке j , соответственно получим:

, (3.33)

, (3.34)

При дисконтировании по сложной годовой учётной ставке d и по номинальной учётной ставке f :

, (3.35)

, (3.36)

При наращении по постоянной силе роста и по изменяющейся с постоянным темпом силе роста:

, (3.37)

, (3.38)

Приведем формулы для расчета ставок i, j, f, для различных условий наращения процентов и дисконтирования.

При наращении по сложной годовой ставке процентов и по номинальной ставке m раз в году находим:

, (3.39)

, (3.40)

При дисконтировании по сложной учетной ставке и по номинальной учетной ставке,

, (3.41)

, (3.42)

При наращении по постоянной силе роста

, (3.43)

При наращении по изменяющейся с постоянным шагом силе роста

, (3.44)

Пример. Сберегательный сертификат куплен за 100 тыс. руб., выкупная его сумма - 300 тыс. руб., срок 2,5 года. Каков уровень доходности инвестиций в виде годовой ставки сложных процентов?

По уравнению (3.29) находим:

или 55,184 %

При начислении простых процентов

где - реально наращенная сумма,

g - ставка налога на %.

В долгосрочных операциях при начислении налога на сложные % возможны следующие варианты: налог начисляется на весь срок сразу или последовательно в конце каждого года. В первом случае:

,(3.45)

Во втором случае налог определяется за каждый истекший год. Сумма налогов за весь срок не зависит от метода начисления.

, (3.46)

Инфляция

Изменение покупательской способности денег за некоторый период измеряется с помощью индекса

- индекс цен.

Под темпом инфляции понимается относительный прирост цен за период (H), измеряется в %.

Например, если темп инфляции равен 130 % , то цены за этот период выросли в 2,3 раза.

Среднегодовые темп роста цен и темп инфляции (h) находятся на основе величины

Поскольку инфляция является цепным процессом (цены в текущем периоде, повышаются на % относительно уровня, сложившегося в предыдущий период), то индекс цен за несколько таких периодов равен произведению цепных индексов цен:

; (3.47)

Если h - постоянный ожидаемый (или прогнозируемый) темп инфляции за период, то за n таких периодов получим:

, (3.48)

Рассмотрим проблему обесценивания денег при их наращении. В общем случае:

, (3.49)

При наращении по простой ставке, имеем:

, (3.50)

Увеличение наращенной суммы с учетом сохранения покупательной способности денег имеет место тогда, когда .

При наращении по сложным процентам

, (3.51)

Если h/100 < i происходит малый рост. Ставка по простым процентам, которая только компенсирует инфляцию, определяется по уравнению:

Для сложных процентов .

Ставку, превышающую , называют положительной ставкой процента .

3.3 Потоки платежей

Погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплата пенсий и т.д. - называют потоки платежей.

Потоки платежей могут быть регулярными и нерегулярными. В нерегулярном потоке платежей членами являются как положительные (поступления), так и отрицательные величины (выплаты), а соответствующие платежи могут производится через разные интервалы времени.

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой или просто рентой.

Рента характеризуется следующими параметрами: член ренты - размер отдельного платежа, период ренты - временной интервал между двумя последовательными платежами, срок ренты - время от начала первого периода ренты до конца последнего периода, процентная ставка.

По количеству выплат членов ренты на протяжении года, ренты делятся на годовые, P - срочные (P - количество выплат в году), непрерывные (много раз в году).

Обобщенные параметры потоков платежей

Анализ потока платежей предполагает расчет одной из двух обобщающих характеристик: наращенной суммы или современной стоимости.

Наращенная сумма - сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.

Современная стоимость потока платежей - сумма всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент времени.

Допустим, имеется ряд платежей , выплачиваемых спустя время после некоторого начального момента времени, общий срок выплат n лет. Необходимо определить наращенную на конец срока сумму потока платежей, если проценты начисляются раз в году по сложной ставке i , то:

, (3.52)

Как видим, наращенную сумму в заданных условиях получают методом прямого счета. Современную стоимость такого потока найдем прямым счетом - как сумму дисконтированных платежей. Обозначив эту величину, как A, получим:

, (3.53)

где - дисконтный множитель по ставке i.

Между величинами A и S существует функциональная зависимость:

(3.54)

Очень важным является различие рент по моменту выплат платежей в пределах периода. Если платежи осуществляются в конце периодов, то такие ренты называют обыкновенными или постнумерандо, если же платежи производятся в начале периодов, то их называют пренумерандо.

Годовая рента

В течении n лет в банк в конце каждого года вносится по R руб.

На взносы начисляются сложные проценты по ставке % годовых. Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты - на первый член ренты начисляются (n-1) год, на второй (n-2) и т.д.

Если переписать этот ряд в обратном порядке, то получим геометрическую прогрессию со знаменателем (1+ i ) и первым членом R.

,(3.55)

Обозначим ;

, (3.56)

При начислении процентов m раз в году:

, (3.57)

Пусть рента выплачивается Р раз в году равными суммами, про-

центы начисляются один раз в конце года тогда:

, (3.58)

При p=m

. (3.59)

Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо

Рассмотрим годовую ренту постнумерандо, член которой равен R, срок ренты n, ежегодное дисконтирование. В этих условиях дисконтированная величина первого платежа равна , второго - ,

... последнего -

, (3.60)

Множитель, на который умножается R, называется коэффициентом приведения ренты и обозначается

При , (3.61)

Расчет срока ренты

Кол-во Кол-во S A

платежей начислений

в году в году

m=1

p=1

m>1

m=1

P>1

m=p

m¹p

При расчете срока ренты необходимо принять во внимание следующие моменты:

1. Расчетные значения срока будут дробные. Для годовой ренты в качестве n удобнее принять меньшее ближайшее число. У p-срочной ренты результат округляется до ближайшего целого числа периодов.

2. Если округление производится до меньшего целого числа, то наращенная сумма или современная стоимость ренты оказывается меньше заданной. Возникает необходимость в соответствующей компенсации. Например, если речь идет о погашении задолженности путем выплаты постоянной ренты, то компенсация может быть осуществлена соответствующими платежом в начале или конце срока или с повышением суммы члена ренты.

Расчет процентной ставки по остальным параметрам ренты не так прост, приходится применять итерационные методы (например, Ньютона - Рафсона).

С помощью этого метода последовательным приближением решает-

ся нелинейное уравнение f(x)=0. Общий вид рекуррентного соотношения

, (3.62)

где k - номер итерации.

Приняв в уравнении (3.55) q=1+i , получим

;

. (3.63)

Вопросы для контроля

1. простые и сложные процентные ставки и методы их начисления?

2. Понятие приведенной стоимости?

3. Виды денежных потоков?

4. Оценка различных денежных потоков?

5. Оценка аннуитетов?

6. Методы оценки инвестиционных проектов?